7/ はさみうちと積分(1)

問題 (1)$$nを自然数として、極限\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2^n+3^n)^\frac{1}{n}を以下の様に求める$$

$$(ア)^{n}\lt 2^n+3^n\lt 2\times(ア)^{n}だから、この各辺を\frac{1}{n}乗して$$

$$(ア)\lt (2^n+3^n)^\frac{1}{n}\lt 2^\frac{1}{n}\times(ア)となる$$

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2^\frac{1}{n}\times(ア))=(イ)だから$$

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2^n+3^n)^\frac{1}{n}=(ウ)$$

(2)$$0 \leq a\lt b \ のとき、\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}=(エ)$$

(3)、(4)は次回に続きを

(聖マリアンナ医科大学 07)

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4/ 繰り返すゲームの確率(2)続き

問題 AとBの二人が何回か続けてあるゲームを行う。各回のゲームでは必ずどちらかが勝ち、引き分けはない。

(2)AがBより腕前が勝っており、Aの勝つ確率が常にBの勝つ確率の 3/2 倍になっている場合を考える。 5回ゲームを行うとして、以下の問いに答えよ。

(ⅰ)Bが3勝2敗になる確率を考える。1回目にBが勝つ場合の確率は、1回目にBが負ける場合の確率の(エ)倍になる。

(ⅱ)Bの勝ち数がAの勝ち数をどの時点でも常に上回っている様な勝負になる確率は(オ)である。

(杏林大学 医学部 06)

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3/ 繰り返すゲームの確率(1)

問題 AとBの二人が何回か続けてあるゲームを行う。各回のゲームでは必ずどちらかが勝ち、引き分けはない。

(1)2人のゲームの腕前が同じ場合を考える

(ⅰ)5回ゲームを行うとき、Aが2勝3敗になる確率は(ア)である。また2人とも2勝した後、5回目にBが勝つ確率は(イ)である。

(ⅱ)何回も続けてゲームを行い、どちらかが4勝した時点でゲームを終了させる。6回以内にゲームが終了する確率は(ウ)である。

(杏林大学 医学部 06)

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2/ 平面図形

問題 平面上に$$点P(2,1) および単位円 C:x^{2}+y^{2}=1 をとる。$$点PからCに引いた接線は2本あり、1本は点(0,1) でCに接し、他の1本は点QでCに接する。このとき、点Qの座標は(ア)である。 またC上の点Rに対して、

$$ベクトル \vec{PQ}, \vec{PR}の内積\vec{PQ}\cdot\vec{PR} の取りうる範囲は$$  $$(イ)≤\vec{PQ}\cdot\vec{PR}≤(ウ)である。$$

(北里大学 医学部 99)


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