問題 AとBの二人が何回か続けてあるゲームを行う。各回のゲームでは必ずどちらかが勝ち、引き分けはない。
（1）2人のゲームの腕前が同じ場合を考える
（ⅰ）5回ゲームを行うとき、Aが2勝3敗になる確率は（ア）である。また2人とも2勝した後、5回目にBが勝つ確率は（イ）である。
（ⅱ）何回も続けてゲームを行い、どちらかが4勝した時点でゲームを終了させる。6回以内にゲームが終了する確率は（ウ）である。
（杏林大学 医学部 06）
解説 （1）（ⅰ）5回のうち、どこで2勝するかを考えると$${}_5\mathrm{ C }_2=\frac{5・4}{2・1}=10（通り）$$ あるので、Aが2勝3敗となる確率は$$10(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{3}=10・\frac{1}{32}=\frac{5}{16}（ア）$$
（イ）は、まず最初の4回のどこかでAが2勝する場合を考えると$${}_4\mathrm{C}_2=\frac{4・3}{2・1}=6（通り）$$なので、ここまでの確率は$$6(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{8}$$ この後Bが勝つ確率をかければ$$\frac{3}{8}・\frac{1}{2}=\frac{3}{16}（イ）$$
（ⅱ）Aが最初から4連勝する確率は$$(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{16}$$で、これはBについても同じ
Aが最初の4回で3勝1敗で、5回目に勝ち4勝となる確率は$${}_4\mathrm{C}_3(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})=\frac{1}{8}$$で、これはBについても同じ
Aが最初の5回で3勝2敗で、６回目に勝ち4勝となる確率は$${}_5\mathrm{C}_3(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{32}$$で、これはBについても同じである。以上から求める確率は
$$(\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{5}{32})・2=\frac{11}{16}（ウ）$$