問題 （1）$$nを自然数として、極限\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2^n+3^n)^\frac{1}{n}を以下の様に求める$$
$$（ア）^{n}\lt 2^n+3^n\lt 2\times（ア）^{n}だから、この各辺を\frac{1}{n}乗して$$
$$（ア）\lt (2^n+3^n)^\frac{1}{n}\lt 2^\frac{1}{n}\times（ア）となる$$
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2^\frac{1}{n}\times（ア）)=（イ）だから$$
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2^n+3^n)^\frac{1}{n}=（ウ）$$
（2）$$0 \leq a\lt b \ のとき、\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}=（エ）$$
（3）、（4）は次回に続きを
（聖マリアンナ医科大学 07）
解説 （1）
$$3^{n}\lt 2^n+3^n\lt 2\times3^{n}だから、この各辺を\frac{1}{n}乗して$$
$$3\lt (2^n+3^n)^\frac{1}{n}\lt 2^\frac{1}{n}\times3$$
$$このとき\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2^\frac{1}{n}\times3)=3だから$$
はさみうちの原理により
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2^n+3^n)^\frac{1}{n}=3$$
（2）$$0 \leq a\lt b \ のとき、 b^{n}\leq a^n+b^n\lt 2\times b^{n}だから$$
$$b\leq (a^n+b^n)^\frac{1}{n}\lt 2^\frac{1}{n}\times b$$
よって、はさみうちの原理により
$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}=b$$