前回の続きです
問題（3）$$f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}(cos^{2n}x+sin^{2n}x)^\frac{1}{n}とおく$$
$$f(\frac{\pi}{6})=（オ）,f(\frac{\pi}{4})=（カ）,f(\frac{\pi}{3})=（キ）$$
（4）$$上問（3）のf(x)について、\int_0^\frac{\pi}{2}f(x)dxを計算しなさい$$
（聖マリアンナ医科大学 07）
解説 （3）$$f(\frac{\pi}{6})=\displaystyle\lim_{n\to\infty} ((\frac{3}{4})^n+(\frac{1}{4})^n)^\frac{1}{n}=\frac{3}{4}（オ）$$
$$f(\frac{\pi}{4})=\displaystyle\lim_{n\to\infty} ((\frac{1}{2})^n+(\frac{1}{2})^n)^\frac{1}{n}=\frac{1}{2}（カ）$$
$$f(\frac{\pi}{3})=\displaystyle\lim_{n\to\infty} ((\frac{1}{4})^n+(\frac{3}{4})^n)^\frac{1}{n}=\frac{3}{4}（キ）$$
前回の（2）と今回の（3）から
\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}cos^{2}x &(0\leq x\lt \frac{\pi}{4})\\sin^{2}x &(\frac{\pi}{4}\leq x \leq \frac{\pi}{2})\end{cases}\end{eqnarray}
したがって $$\int_0^\frac{\pi}{2}f(x)dx=\int_0^\frac{\pi}{4}cos^{2}xdx+\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}sin^{2}xdx$$
$$=2\int_0^\frac{\pi}{4}cos^{2}xdx=\int_0^\frac{\pi}{4}(1+cos2x)dx$$
$$=\left[x+\frac{sin2x}{2}\right]_0^\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}（答）$$