問題 次の式の値を求めよ
$$\cos^{2}{\theta}+\cos^{2}(\frac{2\pi}{3}+\theta)+\cos^{2}(\frac{2\pi}{3}-\theta)$$ （藤田保健衛生大学 99）
解説
三角関数の加法定理を知っているかどうかを問う基本的な問題です。
しかし、全部で7問中の立派な1問なのでおろそかにしてはいけません。
$$\cos(\frac{2\pi}{3}+\theta)=\cos\frac{2\pi}{3}\cos\theta-\sin\frac{2\pi}{3}\sin\theta=-\frac{1}{2}\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$$
$$\cos(\frac{2\pi}{3}-\theta)=\cos\frac{2\pi}{3}\cos\theta+\sin\frac{2\pi}{3}\sin\theta=-\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$$
この2式は形が大変良く似ています。それぞれ2乗して与式に代入するとどうなるか予想してください。±で相殺されて消えてしまう項を想像してください。この手の問題、つまり”三角関数の計算問題で式の値を求める”タイプは途中または最後に次の関係式を使うことがかなり多いのでそれもまた予想しながら計算します。
その関係式とは $$\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta}=1$$ です。
さあ計算です。
$$\cos^{2}{\theta}+\cos^{2}(\frac{2\pi}{3}+\theta)+\cos^{2}(\frac{2\pi}{3}-\theta)=・・・（計算）・・・=\frac{3}{2}(\cos^{2}{\theta}+\sin^{2}{\theta})=\frac{3}{2}$$
となります。