問題 AとBの二人が何回か続けてあるゲームを行う。各回のゲームでは必ずどちらかが勝ち、引き分けはない。
（2）AがBより腕前が勝っており、Aの勝つ確率が常にBの勝つ確率の 3/2 倍になっている場合を考える。 5回ゲームを行うとして、以下の問いに答えよ。
（ⅰ）Bが3勝2敗になる確率を考える。1回目にBが勝つ場合の確率は、1回目にBが負ける場合の確率の（エ）倍になる。
（ⅱ）Bの勝ち数がAの勝ち数をどの時点でも常に上回っている様な勝負になる確率は（オ）である。
（杏林大学 医学部 06）
解説 条件より Aの勝つ確率＝3/5 Bの勝つ確率＝2/5 である。
（ⅰ）求める比は$$\frac{1回目にBが勝ち、その後Bが2勝する確率}{1回目にBが負け、その後Bが3勝する確率}$$
$$=\frac{\frac{2}{5}\times{}_4\mathrm{C}_2(\frac{2}{5})^{2}(\frac{3}{5})^{2}}{\frac{3}{5}\times{}_4\mathrm{C}_3(\frac{2}{5})^{3}(\frac{3}{5})}=\frac{{}_4\mathrm{C}_2}{{}_4\mathrm{C}_3}=\frac{3}{2}（エ）$$
（ⅱ） 条件を満たすにはBは3勝以上でなければならない。Bが3勝、4勝、5勝するときに条件を満たすのはそれぞれ次の①、②、③場合である。
① BBABA かBBBAA の2通りあり、その確率は $$2(\frac{2}{5})^{3}(\frac{3}{5})^{2}=\frac{144}{5^5}$$
②BBABB、 BBBAB、 BBBBAの3通りあり、その確率は$$3(\frac{2}{5})^{4}(\frac{3}{5})=\frac{144}{5^5}$$
③BBBBB の確率は $$(\frac{2}{5})^{5}=\frac{32}{5^5}$$
これら①、②、③をすべて加えて
$$\frac{144}{5^5}+\frac{144}{5^5}+\frac{32}{5^5}=\frac{320}{5^5}=\frac{64}{625}（オ）$$