問題（前回の続き）
（3）$$I_{n} と I_{n+1}の関係式を求めよ$$
（4）$$I_7を求めよ$$
（関西医科大学 99）
解説 （3）$$I_{n}=\int_1^e (logx)^{n}dxとおくと$$
$$I_{n+1}=\int_1^e (logx)^{n+1}dx$$
$$\int_1^e (logx)^{n+1}dx=\int_1^e 1・(logx)^{n+1}dx$$
$$=\left[x(logx)^{n+1}\right ]_1^e-\int_1^e (n+1)(logx)^{n}dx$$
⇦ 前回の（1）で用いた①式（部分積分の公式）を再び使う
$$=e-(n+1)\int_1^e (logx)^{n}dx$$
よって求める関係式は $$I_{n+1}=e-(n+1)I_{n}（答）$$
（4）$$前回の（1）でI_1=1を得ているので（3）の結果を順々に代入していけば$$
$$I_2=e-2I_1=e-2$$
$$I_3=e-3I_2=e-3(e-2)=6-2e$$
$$I_4=e-4I_3=e-4(6-2e)=9e-24$$
$$I_5=e-5I_4=e-5(9e-24)=120-44e$$
$$I_6=e-6I_5=e-6(120-44e)=265e-720$$
$$I_7=e-7I_6=e-7(265e-720)=5040-1854e（答）$$